Question

已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；

（Ⅱ）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°-108°=72°，
∴∠BAF=90°-∠B=90°-72°=18°．
分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．