Question

在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．
（1）求证：OC=AD；
（2）求OC的长；
（3）求过A、D两点的直线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，
∴△DCB也是边长为2的等边三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD（全等三角形的对应边相等），

（2）如图1，作CF⊥OD交x轴于点F，则F为BD的中点，
∴BF=1，
在Rt△BCF中，BC=2，BF=1，
由勾股定理得：CF²=BC²-BF²=4-1=3，
CF=，
在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3，
由勾股定理得：OC²=OF²+CF²=9+3=12，
∴OC==2；

（3）作AE⊥OB交x轴于点E，则E为OB的中点，
∴OE=1，AE=CF=，
∴A点的坐标是（1，）又OD=OB+BD=2+2=4，
故D点的坐标是（4，0）．
设过A、D两点的直线的解析式为y=kx+b，将A，D点的坐标代入得：
，
解得：，
∴过A、D两点的直线的解析式为y=-x+．
分析：（1）利用△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，得出△DCB也是边长为2的等边三角形，进而求出△OBC≌△ABD即可得出答案；
（2）作CF⊥OD交x轴于点F．由勾股定理得：CF²=BC²-BF²，求出CF，进而得出CO．
（3）首先求出A，D两点的坐标，进而得出直线AD的解析式即可．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定和旋转的性质、待定系数法求一次函数解析式，正确利用图形上点的坐标得出解析式是解题关键．