Question

（2010•来宾）如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．

（1）证明：AF∥HG（图（1））；
（2）证明：△AEF∽△EGH（图（1））；
（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．求此时∠BAC的大小．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质可得：∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°，继而证得AF∥HG；
（2）由折叠的性质可得：∠AEF=∠AEB，∠CEG=∠HEG，又由同角的余角相等，可得∠AEF=∠EGH，即可证得△AEF∽△EGH；
（3）首先连接BF，CH，易得四边形AECH为平行四边形，即可得AC=2AB，则可求得∠BAC的度数．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°，
由折叠的性质可得：∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°，
∴AF⊥EH，HG⊥EH，
∴AF∥HG；

（2）由折叠的性质可得：∠AEF=∠AEB，∠CEG=∠HEG，
∴∠AEF+∠HEG=

1

2

∠ABF+

1

2

∠CEH=

1

2

（∠ABF+∠CEH）=

1

2

×180°=90°，
∵∠AFE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，
∴∠AEF=∠EGH，
∴△AEF∽△EGH；

（3）连接BF，CH，
由折叠的性质可得：AB=AF，∠CEG=∠HEG，
∵B对应F，C对应H，
∴BF⊥AE，EG⊥CH，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵∠HEG+∠AEF=90°，
∴AE⊥EG，
∴AE∥CH，
∵AD∥BC，
∴四边形AECH为平行四边形，
∴AF=FC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．