Question

11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+12与两坐标轴分别交于A，B两点，OM⊥AB，垂足为点M．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求OM的长；
（3）存在直线AB上的点N，使得S_△OAN=$\frac{1}{2}$S_△OAB，请求出所有符合条件的点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）利用三角形的面积的计算即可求出OM；
（3）设出点N的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=12，
∴B（0，12），
令y=0，
∴-$\frac{3}{4}$x+12=0，
∴x=16，
∴A（16，0），
（2）由（1）知，A（16，0）．B（0，12），
∴OA=16，OB=12，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA×OB=96，AB=20，
∵OM⊥AB，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB×OM=$\frac{1}{2}$×20×OM=96，
∴OM=9.6；
（3）由（2）知，S_△OAB=96，OA=16，
∵直线AB上的点N，
∴设N（m，-$\frac{3}{4}$m+12），
∵S_△OAN=$\frac{1}{2}$S_△OAB，
∴S_△OAN=$\frac{1}{2}$OA×|y_N|=$\frac{1}{2}$×16×|y_N|=8×|y_N|=$\frac{1}{2}$×96=48，
∴8×|-$\frac{3}{4}$m+12|=48，
∴m=8或m=24，
∴N（8，6）或（24，-6）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．