Question

将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合．
（1）请你说明△DEF一定为等腰直角三角形；
（2）证明点E、F到线段BC的距离之和为定值．

Answer 1

（1）解：连接AD，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，∠EAD=45°，AD=DC，AD⊥BC，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△EDA和△FDC中，
，
∴△EDA≌△FDC（AAS），
∴ED=FD，
∴△EDF是等腰直角三角形；

（2）证明：过点E、F分别作BC的垂线交BC于点G、H，如图，
∵∠FDH=∠ADE，
又∵∠EGD=∠ADC=90°，
∴EG∥AD，
∴∠GED=∠ADE，
∴∠FDH=∠GED，
在△EDG和△FDH中，
，
∴△EDG≌△FDH（AAS），
∴GD=FH，
又∵△BEG是等腰直角三角形，
∴EG=BG，
∴EG+FH=BG+DG=BD，
∴点E、F到BC的距离之和为定值，是△ABC斜边长的一半．
分析：（1）连接AD，由于△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，∠EAD=45°，AD=DC，AD⊥BC，利用“AAS”易证得△EDA≌△FDC，则ED=FD，于是可判断△DEF一定为等腰直角三角形；
（2）过点E、F分别作BC的垂线交BC于点G、H，利用“AAS”易证得△EDG≌△FDH（AAS），得到GD=FH，而△BEG是等腰直角三角形，则EG=BG，所以EG+FH=BG+DG=BD=AB．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．