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    如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切CD于点E．
    （1）若设AD=x，BC=y，试求出y与x之间的函数关系式；
    （2）如图2，BE的延长线交AD的延长线于点F．求证：AD=
    12
    AF；
    （3）如图3，若AD=2，BC=8．动点P以每秒1个单位长的速度，从点B沿线段BC向点C运动；同时点Q以相同的速度，从点D沿折线D-A-B向点B运动．当点P到达点C时，两点同时停止运动．过点P作直线PM⊥BC与折线B-D-C的交点为M．点P运动的时间为t（秒）．点P在线段BC上运动时，是否可以使得以D、M、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请求出t的值；若不可以，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）过D作DF⊥BC于F，根据切线长定理得到DE=DA=x，CE=CB=y，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可得到x，y的关系；
    （2）连AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，而DA=DE，得到∠DAE=∠DEA，根据等角的余角相等得到∠F=∠DEF，则DE=EF，即可得到结论；
    （3）分类讨论：当0＜t≤2，当AQ=BP时，∠MQD=90°；当2＜t≤8，分若∠QDM=90°，或∠QMD=90°，或∠DQM=90°进行讨论，构建三角形相似列出t的方程求解．
    解答：精英家教网（1）解：过D作DF⊥BC于F，
    ∵AD∥BC，∠ABC=90°，
    ∴AD和BC为⊙O的切线，
    而CD为⊙O的切线，
    ∴DE=DA=x，CE=CB=y，
    而DF=AB=8，FC=y-x，
    ∴（x+y）2=82+（x-y）2，
    ∴y=
    16
    x
    ；精英家教网

    （2）证明：连AE，
    ∵AB为直径，
    ∴∠AEB=90°，
    而DA=DE，
    ∴∠DAE=∠DEA，
    而∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°，
    ∴∠F=∠DEF，
    ∴DE=DF，
    ∴AD=
    1
    2
    AF；

    （3）解：当0＜t≤2，
    ∵DQ=t，BP=t，
    ∴当AQ=BP时，∠MQD=90°，
    ∴t+t=2，
    ∴t=1；
    当2＜t≤8，
    若∠QDM=90°，如图，
    ∴∠AQD=∠C，
    ∴Rt△AQD∽Rt△PCM，
    ∴AD：PM=AQ：PC，即AD：AQ=PM：PC，
    而PM：PC=DF：FC=8：6=4：3，
    ∵AQ=t-2，
    ∴2：（t-2）=4：3，
    ∴t=
    7
    2
    ；
    若∠QMD=90°，如图，
    过M作MH⊥AB，精英家教网
    ∴∠HQM=∠C，
    ∴Rt△HQM∽Rt△PCM，
    ∴MH：MP=HQ：PC，即HM：HQ=MP：PC，
    ∴HM：HQ=MP：PC=DF：FC=4：3，
    PC=8-t，PM=
    4
    3
    （8-t），
    而MH=t，QH=BH-BQ=
    4
    3
    （8-t）-（10-t）=
    2
    3
    -
    1
    3
    t，
    ∴t：（
    2
    3
    -
    1
    3
    t）=4：3，
    ∴t=
    8
    13
    ＜2，舍去．精英家教网
    当∠DQM=90°，如图，
    过M作MH⊥AB于H点，则PM=
    4
    3
    （8-t），MN=t，AQ=t-2，
    ∴QH=8-（t-2）-
    4
    3
    （8-t）=
    1
    3
    t-
    2
    3
    ，
    ∴Rt△AQD∽Rt△HMQ，
    ∴AD：QH=AQ：HM，即2：（
    1
    3
    t-
    2
    3
    ）=（t-2）：t，
    ∴t2-10t+4=0，t=5±
    		21
    ，
    ∴t=5+
    		21
    ＞8（舍）．
    点评：本题考查了三角形相似的判定与性质；也考查了直角梯形的性质和切线的性质以及分类讨论思想的运用．
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    70
    70
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    110
    110
    °．

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    2
    		2
    2
    		2
    ．

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