Question

求所有的二次函数f（x）=x²-ax+b，这里a、b为整数，且存在三个取自1，2，…，9的不同整数m、n、p，使得|f（m）|=|（fn）|=|f（p）|=7．

Answer 1

解：可以这样考虑：原命题等价于方程x²-ax+b=7①与x²-ax+b=-7②．
存在三个取自1，2，…，9的不同整数根时，求整数a，b的值．
（1）首先如果方程x²-ax+b=7有一个整数根，则另一根也必为整数，方程x²-ax+b=-7也是这样．
（2）分几种情况讨论：
第一：这两个方程中有一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不等实根，且这三个根是在1，2，…，9中的不同整数．①的判别式△₁=a²-4b+28，②的判别式△₂=a²-4b-28，
只有△₂=0，但此时△₁不是完全平方数，不合题意．
第二：两个方程都有两个不等实根，且都为整数，但其中有一个不在[1，9]区间之内，或两方程有一公共根．
通过讨论判别式（是否为完全平方数），可以得到4组符合条件的（a，b）：（7，-1）（9，7）（11，17）（13，29）．
分析：先将原题转化为一元二次方程根的判别式的问题，然后分情况进行讨论．
点评：此题难度很大，不仅要有强大的计算能力，更要有很高的逻辑思维能力，进行必要的判断．