Question

已知：关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若m是整数，且关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1向下平移3个单位长度，求平移后的解析式．

Answer 1

解：（1）根据题意得m-1≠0且△=（m-2）²-4（m-1）×（-1）=m²＞0，
解得m≠1且m≠0，
即m的取值范围为m≠1且m≠0；
（2）解一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0得x=，
∴x₁=-1，x₂=，
∵m为m≠1且m≠0的整数，且方程有两个不相等的整数根，
∴m=2，
∴抛物线为y=x²-1，
把抛物线y=x²-1向下平移3个单位长度得y=x²-1-3，即y=x²-4．
分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=（m-2）²-4（m-1）×（-1）=m²＞0，然后解两个不等式可得m≠1且m≠0；
（2）利用求根公式得到x=，则x₁=-1，x₂=，由于m为m≠1且m≠0的整数，且方程有两个不相等的整数根，则m=2，则抛物线变形为y=x²-1，
根据抛物线的几何变换，把抛物线y=x²-1向下平移3个单位长度得y=x²-1-3．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义以及抛物线的几何变换．