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    (2007，重庆，28)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤．

    已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°．∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

    (1)求点C的坐标；

    (2)若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

    (3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    (注：抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴公式为)

    答案：略
    解析：

    解：(1)过点C作CH⊥x轴，垂足为H，因为在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，所以OB=4，．

    由折叠知，∠COB=30°，．

    所以∠COH=60°，所以，．所以C(，3)．

    (2)因为抛物线过点、A(，所以解这个方程组，得

    所以抛物线的解析式为：．

    (3)存在．

    因为的顶点坐标为即为点C．MP⊥x轴，设垂足为N，PN=t，因为∠BOA=30°，所以，所以 ．

    作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E，把代入，得，所以，．

    同理，．

    要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD．即，解得，(舍)．

    所以．

    故，存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时．


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    （1）若△ABD是等边三角形，求DE的长为
     
    ；
    （2）若BD=AB，且tan∠HDB=
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    ，求DE的长为
     
    ．
    （根据2007年重庆中考题改编）

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