Question

感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明）

拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．
应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比为
________．

Answer 1

13：3
分析：拓展：由∠C=∠ABD=∠E与∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB=∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED．
应用：由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案．
解答：拓展：证明：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，
∴∠CAB=∠DBE，
∵∠C=∠E，
∴△ACB∽△BED；
应用：解：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，
∴∠CAB=∠DBE，
∵∠C=∠E=60°，
∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=4，
∴BE=CE-BC=3，
∴△ACB与△BED的相似比为：4：3，
∴S_△ABC：S_△BED=16：9，S_△ABC：S_△ABE=1：3=16：48，
设S_△ABC=16x，则S_△ABE=48x，S_△BDE=9x
∴S_△ABD=S_△ABE-S_△BED=48x-9x=39x，
∴S_△ABD：S_△BDE=39：9=13：3．
故答案为：13：3．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．