Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点I、O分别是△ABC的内心和外心，则tan∠IOA=

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

D
分析：利用内心与外心的性质得出内切圆半径和外接圆半径，再利用切线长定理进而得出AN的长，即可得出答案．
解答：解：如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点I、O分别是△ABC的内心和外心，
∴AB=5，
∵O为外心，
∴AO为外接圆半径等于2.5．
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，
r==1，
即DI=EI=1，
∵∠C=90°，∠IDE=∠IEC=90°，
∴四边形，IECD是正方形，
∴CE=CD=1，AE=AN=3-1=2，BD=BN=4-1=3，
∴ON=AO-AN=2.5-2=0.5；
tan∠IOA==2．
故选D．
点评：此题考查了直角三角形的外心与内心概念及内切圆的性质，根据已知得出AN的长是解题关键．