Question

如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．
（1）如图甲，若PA=8，PC=10，CD=6．
①求sin∠APC的值；②sin∠BOD=______；
（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD=BD；②若，试求cos∠BAD的值．

Answer 1

解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．
①根据垂径定理，得CE=3．设圆的半径是r．
根据勾股定理，得
OP²-PE²=OC²-CE²，
（8+r）²-169=r²-9，
解得r=6．
则OE=3．
则sin∠APC==；
②设OF=x．
根据勾股定理，得
PD²-PF²=OD²-OF²，
256-（14+x）²=36-x²，
解得x=．
所以DF=．
所以sin∠BOD==．

（2）①∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
又OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
所以弧CD=弧BD，
所以CD=BD；
②∵AC∥OD，
∴=．
又CD=BD，AB=2OA，
∴=．
∴cos∠BAD==．
分析：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．根据垂径定理和勾股定理求得有关线段的长，再进一步根据锐角三角函数的概念求解；
（2）根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明，根据平行线等分线段定理进行求解．
点评：此题综合运用了垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、等弧对等弦、平行线等分线段定理等，有一定的难度．