Question

如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．

Answer 1

证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DFB=∠DNC=90°，
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵，
∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）
∴BF=CN，
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）
∴AN=AF，
∴BF=AC+AN=AC+AF，
即BF=AF+AC．
分析：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．