Question

将两块含45゜角大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图1摆放，连AC、BD．
（1）求证：AC=BD；
（2）将图1中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C₁OD₁的位置（如图2），连结AC₁，BD₁，直线AC₁与BD₁，存在着什么样的位置关系，请下结论并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵△COD和△AOB是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠AOB=90°，CO=DO，AO=BO，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC=BD．
（2）AC₁⊥BD₁．
理由：延长BD₁交AO于N，交AC₁于M，
∵∠C₁OD₁=∠AOB，
∴∠C₁OD₁-∠AOD₁=∠AOB-∠AOD₁，
∴∠AOC₁=∠BOD₁．
在△AC₁O和△BD₁O中
，
∴△AC₁O≌△BD₁O（SAS）
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠BNO=90°，且∠ANM=∠BNO，
∴∠1+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°．
∴AC₁⊥BD₁．
分析：（1）由等腰直角三角形的性质就可以得出△AOC≌△BOD，就有AC=BD；
（2）延长BD₁交AO于N，交AC₁于M，通过证明△AC₁O≌△BD₁O就可以得出∠1=∠2，进而可以得出∠AMB=90°而得出结论．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键，作辅助线是难点．