Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，且BE=4，求DE的长．

Answer 1

分析 直接利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出AC=AE，进而利用勾股定理得出DE的长．

解答 解：∵∠C=90°，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=6，
∵BE=4，
∴AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
设DC=DE=x，则BD=8-x，
故在Rt△BDE中，
BD²=DE²+BE²，
则（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
即DE=3．

点评 此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确得出BC的长是解题关键．