Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，试证明：当P为AC的中点时，线段PQ的长取得最大值，并求出PQ的最大值；
（3）设D、E为直线AC上的两点（不与A、C重合），且D在E的左侧，DE=2

2

，过点D作DF⊥x轴交抛物线于点F，过点E作EG⊥x轴交抛物线于点G．问：是否存在这样的点D，使得以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于点M和抛物线顶点关于x轴对称，即可得到点N的坐标，进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式．
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，可得到点A的坐标，进而可求出直线AC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可得到P、Q的纵坐标，从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标，然后判断此时的P点是否为AC的中点即可．
（3）由直线AC的斜率可得∠CAB=45°，因此D、E的横坐标差为2，可设出点D的横坐标，即可得到点E的横坐标，进而可参照（2）的方法求得DF、EG的长，若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，那么必须满足DE=FG，由此可求得点D的坐标．需要注意的是：在表示DE、FG的长时，要分三种情况考虑：
①点D在线段CA的延长线上，E在线段AC上，②D、E都在线段AC上，③点E在线段AC的延长线上，D在线段AC上．

解答：解：（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），（1分）
∴其函数关系式为y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

．（3分）

（2）由

1

2

x²-x-

3

2

=0
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
由A（-1，0）、M（1，2）可得直线AC的函数关系式为y=x+1，（4分）
设P（t，t+1），则Q的坐标为（t，

1

2

t²-t-

3

2

）；（5分）
∴PQ=（t+1）-（

1

2

t²-t-

3

2

）=-

1

2

t²+2t+

5

2

=-

1

2

（t-2）²+

9

2

，（6分）
∵a=-

1

2

＜0
∴当t=2时，PQ有最大值为

9

2

，
即P点运动至AC的中点时，PQ长有最大值为

9

2

．（7分）

（3）由直线AC的函数关系式为y=x+1可知：∠CAB=45°，则D、E的横坐标差为2；
设点D（x，x+1），E（x+2，x+3），则：F（x，

1

2

x²-x-

3

2

），G（x+2，

1

2

x²+x-

3

2

）；
由于DF∥EG，若以D、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，则DF=EG；
①当点D在线段CA的延长线上，点E在线段AC上时；
DF=

1

2

x²-x-

3

2

-（x+1）=

1

2

x²-2x-

5

2

，EG=x+3-（

1

2

x²+x-

3

2

）=-

1

2

x²+

9

2

；
由于DF=EG，则

1

2

x²-2x-

5

2

=-

1

2

x²+

9

2

，
解得x=1±2

2

；
由于x＜0，则D（1-2

2

，2-2

2

）；
②当点D、E都在线段AC上时；
DF=-

1

2

x²+2x+

5

2

，EG=-

1

2

x²+

9

2

；
同①可得：-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

x²+

9

2

，
解得x=1；
故D（1，2）；
③当点D在线段AC上，E点在线段AC的延长线上时，
DF=

1

2

x²-x-

3

2

-（x+1）=

1

2

x²-2x-

5

2

，EG=x+3-（

1

2

x²+x-

3

2

）=-

1

2

x²+

9

2

；
由于DF=EG，则

1

2

x²-2x-

5

2

=-

1

2

x²+

9

2

，
解得x=1±2

2

；
由于x＞0，则D（1+2

2

，2+2

2

）；
符合条件的点共有3个，分别为D₁（1，2），D₂（1-2

2

，2-2

2

），D₃（1+2

2

，2+2

2

）．（11分）
（第（3）小题得出1解得（2分），2解得（3分），3解得4分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数最值的应用、平行四边形的判定和性质等知识，同时考虑了分类讨论的数学思想，难度较大．