Question

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

探究：设A、P两点间的距离为x．

⑴当点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论(如图⑴)．

⑵当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域(如图⑵)．

⑶当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(如图⑶)．(图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同，图⑷供操作、实验用，图⑸和图⑹备用)

Answer 1

答案：
解析：

⑴PQ＝PB，证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形(如图⑴)．∴NP＝NC＝MB，∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．又∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB，∴PQ＝PB． 　　⑵由⑴知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．∵AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝，，∴CQ＝CD－DQ＝， 　　， 　　， 　　， 　　即． 　　⑶△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0；②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形(如图3)，此时，，，， 　　，当时，得x＝1．