Question

如图1，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。

（1）求证：AE·AB=AF·AC；
（2）如果将图2中的直线BC向上平移与圆O相交得图2，或向下平移得图3，此时，AE·AB=AF·AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。

Answer 1

解：（1）如图①，连接DE ∵AD是圆O的直径 ∴ ∠AED=90° 又∵BC切圆O于点D ∴AD⊥BC，∠ADB=90° 在和中，∠EAD=∠DAB ∴ ～ ∴，即 同理连接DF，可证～， ∴。
（2）仍然成立 如图②，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为 则 ∵AD是圆O的直径 ∴∠AED=90° 又∵ ∴ ∴， 同理 ∴ 同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图③时，仍然成立。