Question

如图所示的正三角形ABC中，有一个内接正方形DEFG，已知三角形边长AB=2，则正方形的边长DE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：过A作AM垂直于BC，交BC于M点，交DE于N点，由四边形DEFG为正方形，得到DE与BC平行，且四条边相等，设正方形的边长为x，由两直线平行得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似可得出三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为正方形的边长．

解答：解：过A作AM⊥BC，交BC于M，交DE于N，如图所示：
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE∥BC，DG=GF=FE=DE，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，AN⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
设DE=EF=FG=DG=x，
又△ABC为边长为2的等边三角形，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM=

1

2

BC=1，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=

3

2

，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，即

x

2

=

3 2 -x

3 2

，
解得：x=4

3

-6，
则正方形的边长为4

3

-4．
故答案为：4

3

-6．

点评：此题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．