Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c与x轴交于点B和点A（-1，0），与y轴交于点C，与一次函数y=x+a交于点A和点D．
（1）求出a、b、c的值；
（2）若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；
（3）点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据图形可以看出点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），分别代入一次函数和二次函数的解析式中，即可得出a、b、c的值；
（2）设点E的横坐标为m，则可得出点E的纵坐标为-m²+3m+4．过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为（m，m+1）．过点D作l的垂线，垂足为T；联立直线方程和二次函数方程，即可得出D的坐标，再根据S_△AED=S_△AEH+S_△HED，得出含m的函数，利用a的取值范围，可知，当m=1时，即可得出最大值，从而可得出E的坐标；
（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，结合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐标．

解答：解：（1）a=1；b=3；c=4．（解题过程略）

（2）设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m²+3m+4．过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为（m，m+1）．过点D作l的垂线，垂足为T．
将y=x+1与y=-x²+3x+4联立组成方程组，解得点D的坐标为（3，4）．
所以S_△AED=S_△AEH+S_△HED=

1

2

EH×AG+

1

2

EH×DT=

1

2

EH（AG+DT）=

1

2

（-m²+3m+4-m-1）×5=-

5

2

（m-1）²+10
∵a=

5

2

＜0，∴S_△AED有最大值．当m=1时，最大值为10，此时点E的坐标为（1，10）．

（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，
∵点D的坐标为（3，4），点A坐标为（-1，0）
∴∠DAB=45°∴AD平分∠SAB，∴FM=FN
∴d=FE+FM-1=FE+FN-1
显然，当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，最小值为6-1=5．
此时点F的横坐标为1，代入y=x+1得F点的坐标为（1，2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．具有一定难度的二次函数题．