Question

如图，直线y=kx+8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，O为坐标原点，A点的坐标为（4，0）．
（1）求k的值；
（2）若P为y轴（B点除外）上的一点，过P作PC⊥y轴交直线AB于C．设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）．
①如果点P在线段BO（B点除外）上移动，求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②如果点P在射线BO（B、O两点除外）上移动，连接PA，则△APC的面积S也随之发生变化．请你在面积S的整个变化过程中，求当m为何值时，S=4．

Answer 1

解：（1）∵点A（4，0）在直线y=kx+8上，
∴0=k×4+8，
解得k=-2；

（2）①如图①，由（1）得直线AB的解析式为y=-2x+8，
由x=0，解得y=8，
∴B（0，8），
∴0≤m＜8．
设c（x，y），由y=m=-2x+8，
解得x=4-m＞0，
∴PC=4-m，
即所求l与m的函数关系式为l=4-m（0≤m＜8）；
②如图②，
当0＜m＜8时，s=PC•PO=（4-m）•m
=-m²+2m，
由-m²+2m=4．解得m₁=m₂=4；
如图③，当m＜0时，同①可求得PC=4-m，又PO=-m，
∴S=PC•PO=（4-m）•（-m）=m²-2m，
由m²-2m=4，解得m₁=4+4＞0（舍去），
m₂=4-4，
综上，当m=4或m=4-4时，S=4．
分析：（1）A点的坐标满足解析式y=kx+8，就可以求出函数的解析式；
（2）根据PC⊥y轴，OA⊥y轴，得到PC∥OA，则△BPC∽△BOA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意分情况讨论是解决本题的关键．