Question

（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线y=

1

8

x2相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求证：点（y₁，y₂）在反比例函数y=

64

x

的图象上；
（3）求证：x₁•OB+y₂•OA=0．

Answer 1

分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=-

b2

2k

，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；
（2）先由y=kx+8，得x=

y-8

k

，再将x=

y-8

k

代入y=

1

8

x²，整理得y²-（16+8k²）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线y=

1

8

x2相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，知y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y₁•y₂=64，即点（y₁，y₂）在反比例函数y=

64

x

的图象上；
（3）先由勾股定理，得出OA²=

x

2 1

+

y

2 1

，OB²=

x

2 2

+

y

2 2

，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，由（2）得y₁•y₂=64，又易得x₁•x₂=-64，则OA²+OB²=AB²，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到

OA

BO

=

OE

BF

，即可证明x₁•OB+y₂•OA=0．

解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=-

b

k

，
∴△OCD的面积S=

1

2

（-

b

k

）•b=-

b2

2k

．
∵kS+32=0，
∴k（-

b2

2k

）+32=0，
解得b=±8，
∵b＞0，
∴b=8；

（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=

y-8

k

，
将x=

y-8

k

代入y=

1

8

x²，得y=

1

8

（

y-8

k

）²，
整理，得y²-（16+8k²）y+64=0．
∵直线y=kx+8与抛物线y=

1

8

x2相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的两个根，
∴y₁•y₂=64，
∴点（y₁，y₂）在反比例函数y=

64

x

的图象上；

（3）证明：由勾股定理，得
OA²=

x

2 1

+

y

2 1

，OB²=

x

2 2

+

y

2 2

，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
由（2）得y₁•y₂=64，
同理，将y=kx+8代入y=

1

8

x²，
得kx+8=

1

8

x²，即x²-8kx-64=0，
∴x₁•x₂=-64，
∴AB²=

x

2 1

+

x

2 2

+

y

2 1

+

y

2 2

-2x₁•x₂-2y₁•y₂=

x

2 1

+

x

2 2

+

y

2 1

+

y

2 2

，
又∵OA²+OB²=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴

OA

BO

=

OE

BF

，
∵OE=-x₁，BF=y₂，
∴

OA

BO

=

-x1

y2

，
∴x₁•OB+y₂•OA=0．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的两个根，进而得出y₁•y₂=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．