Question

8．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是高，点E是AB上一动点，过E作EF∥BC交AC于F，交AD于H，设AE=x，AH=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如图2，将△AEF沿EF翻，点A落在射线AD上的点A′
①是否存在这样的x值，使CA′⊥AB？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
②探索当x为何值时，A′DE为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）设∠ABC=α，由等腰三角形的性质得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理求出AD=4，得出sinα=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，在Rt△AHE中，由sinα=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{y}{x}$，即可得出结果；
（2）①证明B、D、A′、G四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠AA′G=∠ABC=α，由三角函数求出BG=$\frac{18}{5}$，得出AG=AB-BG=$\frac{7}{5}$，AA′=$\frac{7}{4}$，由折叠的性质得出AH=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{7}{8}$，由三角函数即可得出结果；
②分两种情况：当A′在AD上时，由题意得出A′E=A′D，由折叠的性质得出AH=A′H，H是EF的中点，证出四边形AEA′F是菱形，得出A′D=x，由AD=AA+A′D，得出方程，解方程即可；当A′在AD的延长线上时，根据题意得出DE=DA′，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）设∠ABC=α，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=α，
∵AB=AC，AD是高，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴sinα=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△AHE中，sinα=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{y}{x}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{y}{x}$，
∴y与x的函数关系式为：y=$\frac{4}{5}$x；
（2）①存在，x=$\frac{35}{32}$；理由如下：如图1所示：
∵CA′⊥AB，AD⊥BC，
∴∠BGA′+∠BDA′=90°+90°=180°，
∴B、D、A′、G四点共圆，
∴∠AA′G=∠ABC=α，BG=BC•cosα=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，AG=AB-BG=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，AA′=$\frac{AG}{sinα}$=$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{7}{4}$，
∵△AEF沿EF翻，点A落在射线AD上的点A′，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{AH}{sinα}$=$\frac{\frac{7}{8}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{35}{32}$，
解得：x=$\frac{35}{32}$；
②分两种情况：当A′在AD上时，如图2所示：
∵∠EA′D=90°+∠A′EF＞90°，
∴△A'DE为等腰三角形就一种可能，即A′E=A′D，
∵A′是沿EF翻折的，
∴AH=A'H，H是EF的中点，AH⊥EF，对角线互相垂直平分，
∴四边形AEA'F是菱形，
∴A'D=x，AH=AE•sinα=$\frac{4}{5}$x，
∴y与x的关系式为：y=$\frac{4}{5}$x；
∴AD=AA+A′D，
∴AD=2AH+A′D，
即4=2×$\frac{4}{5}$x+x，
解得：x=$\frac{20}{13}$；
当A'在AD的延长线上时，如图3所示：
根据题意得：DE=DA′，
∵AD=4，AH=A′H=$\frac{4}{5}$x，
∴DE=DA′=$\frac{8}{5}x-4$，
∵EH=$\frac{3}{5}$x，
在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH²+DH²=DE²，
即（$\frac{3}{5}$x）²+（4-$\frac{4}{5}$x）²=（$\frac{8}{5}$x-4）²，
解得：x=$\frac{160}{39}$；
综上所述：当x为$\frac{20}{13}$或$\frac{160}{39}$时，A′DE为等腰三角形．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数、四点共圆、圆内接四边形的性质、翻折变换的性质、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）②中，需要进行分类讨论，才能得出结果．