Question

11．如图，在△ABC中，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）若四边形EFPQ为正方形，求这个正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质推出即可；
（2）根据相似三角形的性质求出y=4-$\frac{4}{5}$x，求出矩形的面积，求出二次函数的最值即可．

解答 解：
（1）证明：∵四边EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）；

（2）解：设矩形EFPQ的另一边长为y，则HD=y，
由（1）得$\frac{4-y}{4}=\frac{x}{5}$，
解之得：y=4-$\frac{4x}{5}$，
于是矩形EFPQ的面积为：
S=xy
=x（4-$\frac{4x}{5}$），
=-$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+5，
故当x=2.5时，矩形EFPQ的面积最大，最大值是5．

点评 本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．