Question

已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB=4，E、F分别为射线AB、DA上一动点，且∠EOF=120゜，若AF=1，求BE的长．

Answer 1

解：当F在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交AD于M，
∵O为等边△ABD的边BD的中点，
∴OB=2，∠D=∠ABD=60°，
∴△ODM为等边三角形，
∴OM=MD=2，∠OMD=60°，
∴FM=FA+AM=3，∠FMO=∠BOM=120°，
∵∠EOF=120゜，
∴∠BOE=∠FOM，
而∠EBO=180°-∠ABC=120°，
∴△OMF≌△OBE，
∴BE=MF=3；
当F点在线段AB上，如图2，
同理可证明△OMF≌△OBE，
则BE=MF=AM-AF=2-1=1．
分析：讨论：当F在线段DA的延长线上；当F点在线段AB上，作OM∥AB交AD于M，利用等边三角形性质可证出△OMF≌△OBE，则BE=MF，然后分别计算FM即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了等边三角形的判定与性质．