Question

某环形道路上顺时针排列着4所中学：A₁，A₂，A₃，A₄，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．

Answer 1

【答案】分析：首先设A₁中学调给A₂彩电x₁台（若x₁＜0，则认为是A₂，向A₁调出|x₁|台），A₂中学调给A₃彩电x₂台，A₃调给A₄x₃台，A₄调给A₁x₄台，则根据题意可得方程：15-x₁+x₄=10，8-x₂+x₁=10，5-x₃+x₂=10，12-x₄+x₃=10，即可求得关于x₁，x₂，x₃，x₄的函数，由题意可知此题求解的内容是y=|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|的最小值，分析求解即可．
解答：解：设A₁中学调给A₂彩电x₁台（若x₁＜0，则认为是A₂，向A₁调出|x₁|台），A₂中学调给A₃彩电x₂台，A₃调给A₄x₃台，A₄调给A₁x₄台．
∵共有40台彩电，平均每校10台，
∴15-x₁+x₄=10，8-x₂+x₁=10，5-x₃+x₂=10，12-x₄+x₃=10，
∴x₄=x₁-5，x₁=x₂+2，x₂=x₃+5，x₃=x₄-2，x₃=（x₁-5）-2=x₁-7，x₂=（x₁-7）+5=x₁-2．
本题即求y=|x₁|+|x₂|+|x₃|+|x₄|=|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|的最小值，其中x₁是满足-8≤x₁≤15的整数．
设x₁=x，并考虑定义在-8≤x≤15上的函数：y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|，
当2≤x≤5时，y取最小值10，
即当x₁=2，3，4，5时，|x₁|+|x₁-2|+|x₁-7|+|x₁-5|取到最小值10．
从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：

点评：此题考查了函数最值问题与函数的实际应用问题．解此题的关键是将实际问题转化为函数问题求解，注意转化思想的应用．