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    阅读下列材料：
    ∵
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ；
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ；
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ；
    1
    2003×2005
    =
    1
    2
    (
    1
    2003
    -
    1
    2005
    )
    …
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    2003×2005

    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    2003
    -
    1
    2005
    )
    解答下列问题：
    （1）在和式
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…    中，第5项为
     
    ，第n项为
     
    ，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以
     
    ，从而达到求和目的．
    （2）利用上述结论计算
    1
    x(x+2)
    +
    1
    (x+2)(x+4)
    +
    1
    (x+4)(x+6)
    +…+
    1
    (x+2004)(x+2006)
    ．
    分析：（1）是一道规律题，每个加式的分母是两个相邻的奇数的积，分子都是1，第n项的分母是（2n-1）（2n+1）．从而求得结果．
    （2）利用阅读材料告诉的方法和规律计算分式的加减法．
    解答：解：（1）通过观察规律得知这些式子的分子都为1，第n项加式的分母为（2n-1）（2n+1），
    ∴第5项为
    1
    9×11
    第n项为
    1
    (2n-1)(2n+1)
    ，使得首末两项外的中间各项可以化为0，从而求解．

    （2）原式=
    1
    2
    (
    1
    x
    -
    1
    x+2
    )+
    1
    2
    (
    1
    x+2
    -
    1
    x+4
    )+…+
    1
    2
    (
    1
    x+2004
    -
    1
    x+2006
    )
    =
    1
    2
    (
    1
    x
    -
    1
    x+2
    +
    1
    x+2
    -
    1
    x+4
    …+
    1
    x+2004
    -
    1
    x+2006
    )
    =
    1
    2
    (
    1
    x
    -
    1
    x+2006
    )
    =
    1003
    x(x+2006)
    ．
    点评：本题考查了分式的加减法计算，要求学生通过阅读材料，寻找解题的规律和方法是一道理解和运用较强的分式加减计算题．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料：
    ∵
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ；
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ；
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ；
    …
    1
    2007×2009
    =
    1
    2
    (
    1
    2007
    -
    1
    2009
    )
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    2007×2009

    =
    1
    2
    (
    1
    1
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    2007
    -
    1
    2009
    )
    =
    1
    2
    ×(1-
    1
    2009
    )
    =
    1004
    2009

    解答下列问题：
    （1）在和式
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…    中，第5项为
     
    ，第n项为
    1
    (2n-1)(2n+1)
    ，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以
     
    ，从而达到求和目的．
    （2）利用上述结论计算
    1
    x(x+2)
    +
    1
    (x+2)(x+4)
    +
    1
    (x+4)(x+6)
    +…+
    1
    (x+2008)(x+2010)

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下列材料：
    ∵
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )，
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )…
    1
    17×19
    =
    1
    2
    (
    1
    17
    -
    1
    19
    )
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +
    1
    7×9
    +…+
    1
    17×19
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +…+
    1
    17
    -
    1
    19
    )=
    9
    19

    解答问题：
    （1）在式
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    …    中，第六项为
     
    ，第n项为
     
    ，上述求和的想法是通过逆用
     
    法则，将式中各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以
     
    从而达到求和的目的；
    （2）解方程
    1
    x(x+2)
    +
    1
    (x+2)(x+4)
    +…+
    1
    (x+8)(x+10)
    =
    5
    24
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    阅读下列材料：
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ，
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ，…
    受此启发，请你解下面的方程：
    1
    x(x+3)
    +
    1
    (x+3)(x+6)
    +
    1
    (x+6)(x+9)
    =
    3
    2x+18
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    阅读下列材料：
    1
    1+
    		2
    =
    		2
    -1
    (1+
    		2
    )(
    		2
    -1)
    =
    		2
    -1，
    1
    		2
    +
    		3
    =
    		3
    -
    		2
    (
    		2
    +
    		3
    )(
    		3
    -
    		2
    )
    =
    		3
    -
    		2
    ，
    1
    		3
    +2
    =
    2-
    		3
    (
    		3
    +2)(2-
    		3
    )
    =2-
    		3
    ，
    1
    2+
    		5
    =
    		5
    -2
    (2+
    		5
    )(
    		5
    -2)
    =
    		5
    -2．读完以上材料，请你计算下列各题：
    （1）
    1
    3+
    		10
    =
    		10
    -3
    		10
    -3
    ；
    （2）
    1
    		n
    +
    		n+1
    =
    		n+1
    -
    		n
    		n+1
    -
    		n
    ；
    （3）
    1
    1+
    		2
    +
    1
    		2
    +
    		3
    +
    1
    		3
    +2
    +…+
    1
    		2010
    +
    		2011
    =
    		2011
    -1
    		2011
    -1
    ．

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