Question

如图所示，有一座山，大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径是4千米，山高4

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千米，在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山公路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C，这条公路的最短路程是多少

 

．

Answer 1

分析：公路的最短路程为圆锥展开图中点A到C′的距离．可由勾股定理求得母线SB，由底面周长等于扇形的弧长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求得AC′的长．

解答：解：如图，将圆锥沿SA展开得到扇形ASA′，则这条公路的最短路程是AC′．
在Rt△OBS中可得SB=16．（2分）
∴SA=16，SC′=8，弧长AA′为8π．
设圆心角∠ASA′为n°，
则 8π=

nπ×16

180

，
n=90，（5分）
∴∠ASA′为90°．
在Rt△ASC′中，AC′=

AS2+SC′2

=8

5

（千米）．（7分）
故答案为8

5

．（8分）

点评：本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式，弧长公式求解．