Question

（2013•唐山一模）如图，△ABC中，P是BC上一点，PQ⊥AB，垂足为Q，PQ=10，∠B=30°，∠PAB=45°，以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的坐标系．
（1）点B的坐标为

（-10-10

3

，0）

，点P的坐标为

（-10，10）

．
（2）如果AC与x轴的正半轴的夹角为75°，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PQB中求出BQ，在Rt△PQA中求出AQ，即可得出点B及点P的坐标；
（2）先判定△APQ是等腰直角三角形，然后求出PA的长，再求出PB的长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C=45°，然后求出△BAP和△BAC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可求出AC的长．

解答：解：（1）在Rt△PQB中，∠B=30°，PQ=10，
则BQ=10

3

，
在Rt△PQA中，PQ=10，∠PAB=45°，
则AQ=PQ=10，
故可得点B的坐标为（-10-10

3

，0），点P的坐标为（-10，10）；

（2）∵PQ⊥AB，∠PAB=45°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∵PQ=10，
∴PA=10

2

，
∵∠B=30°，
∴PB=2PQ=20，
∵∠B=30°，AC与x轴的正半轴的夹角为75°，
∴∠C=75°-30°=45°，
∴∠C=∠PAB=45°，
又∵∠B=∠B=30°，
∴△BAP∽△BAC，
∴

AP

AC

=

PB

AB

，
即

10 2

AC

=

20

10+10 3

，
解得AC=

2

（5+5

3

）=5

2

+5

6

，
所以，AC的长为5

2

+5

6

．

点评：本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难点在第二问，关键在于利用外角的性质判断出∠B=∠C．