Question

5．（1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；请继续完成证明过程：

（2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．
（3）【拓展研究】如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3$\sqrt{2}$，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Answer 1

分析 （1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；
（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA）进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论；
（3）先求出AG=HD=$3\sqrt{2}$，进而判断出△PDH为等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论．

解答 （1）DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
证明：如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF
在△ADE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EC}\\{∠AED=∠CEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
故答案为：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠HDE}\\{EA=ED}\\{∠AEG=∠HED}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=2，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=$3\sqrt{2}$，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
∴PD=PH=3，
∴PF=PD+DF=3+2=5，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，
∴HF=$\sqrt{H{P}^{2}+F{P}^{2}}$═$\sqrt{34}$
∴GF=$\sqrt{34}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线，是一道比较典型的中考题．