Question

6．如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD于F．
（1）求证：△ADG≌△FDG；
（2）若BG=2AG，BD=2$\sqrt{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据AAS即可证明△ADG≌△FDG；
（2）只要证明∠FBG=30°，即可推出AD=$\frac{1}{2}$BD，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，GF⊥BD，
∴∠A=∠DFG=90°，又∠ADG=∠FDG，DG=DG，
在△ADG和△FGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDA=∠GDF}\\{∠A=∠GFD}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△FDG．

（2）解：由（1）得△ADG≌△FDG，
∴FG=AG，
∵BG=2AG，
∴BG=2FG，
∴在Rt△BFG中，sin∠FBG=$\frac{FG}{BG}=\frac{1}{2}$，
∴∠FBG=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是证明∠FBG=30°．