Question

先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
若a≥0，b≥0，则

a+b

2

≥

ab

 …①
若a≥0，b≥0，c≥0，则

a+b+c

3

≥

3	abc

…②
不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
若ab＞0，试证明不等式：

(a+b)2+2ab

3

≥

3	(a+b)2a2b2

．
证明：∵ab＞0
∴

(a+b)2+2ab

3

=

(a+b)2+ab+ab

3

≥

3	(a+b)2•ab•ab

即

(a+b)2+2ab

3

≥

3	(a+b)2a2b2

．
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
（1）当ab≥0时，试证明：

a2+b2+10ab

12

≥

3	(a+b)2a2b2 4

．
（2）当a、b为任意实数时，试证明：

a2+b2+ab

3

≥

3	(a+b)2a2b2 4

．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出

a2+b2+10ab

12

=

1

3

×

a2+b2+2ab+8ab

4

=

1

3

×[

1

4

（a+b）²+ab+ab]即可利用例题得出答案；
（2）根据当ab≥0时与当ab＜0时，利用例题分别得出例题形式即可证明．

解答：解：（1）∵ab≥0，
∴

a2+b2+10ab

12

=

1

3

×

a2+b2+2ab+8ab

4

，
=

1

3

×[

1

4

（a+b）²+ab+ab]≥

3	(a+b) 2(ab)×(ab) 4

=

3	(a+b) 2(ab) 2 4

，

（2）当ab≥0时，

a2+b2+ab

3

=

4(a2+b2)+4ab

12

，
=

(a2+b2)+4ab+3(a2+b2)

12

≥

(a2+b2)+4ab+6ab

12

，
=

a2+b2+10ab

12

≥

3	(a+b) 2a2b2 4

，
当ab＜0时，

a2+b2+ab

3

=

(a2+b2+2ab)-ab

3

，
=

(a+b) 2- 1 2 ab- 1 2 ab

3

≥

3	(a+b) 2×(- 1 2 ab)(- 1 2 ab)

，
=

3	1 4 (a+b) 2a2b2

．

点评：此题主要考查了几何不等式的应用，根据已知将原式变形为例题形式是解题关键．