Question

点G是正方形ABCD边AB的中点，点E是射线BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，连接EG．

（1）若E为BC的中点（如图1）
①求证：△AEG≌△EFC；
②连接DF，DB，求证：DF⊥BD；
（2）若E是BC延长线上一点（如图2），则线段CF和BE之间存在怎样的数量关系，给出你的结论并证明．

Answer 1

解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=∠BDC=45°．
∵点G、E分别是AB、BC的中点，
∴AG=BG=AB，BE=CE=BC，
∴AG=BG=BE=CE．
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°．
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=∠NCF=45°，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEN=90°．
∵∠AEB+∠BNE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AEG≌△EFC中，
，
∴△AEG≌△EFC（ASA）
②作FN⊥BC于N，
∴∠FNC=90°，
∴∠ABE=∠ENF．
∵△AEG≌△EFC，
∴AE=EF．
在△ABE和△ENF中，
，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴FN=BE，
∵∠CFN=45°，
∴CF=FN．
设AB=CD=AD=CD=2a，
∴BD=2a，CF=a，
∴，，
∴，
∵∠ABD=∠FCD=45°，
∴△ABD∽△FCD，
∴∠ADB=∠FDC=45°，
∴∠BDF=90°，
∴DF⊥BD．
（2）CF=BE．理由：
延长BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延长线于G，
∴∠FGE=90°，
∴∠ABE=∠FGE．
在Rt△CFG中，由勾股定理．得
∴CF=FG．
∴∠FGE=∠ABE．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF．
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE．
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
，
∴AE=EF，∠MAE=∠CEF，
∴∠BAE=∠GEF
在△ABE和△CGF中，
，
∴△ABE≌△CGF（AAS）
∴BE=FG，
∴CF=BE．
分析：（1）①由正方形的性质及G是AB的中点、E是BC的中点可以求出∠AGE=135°，AG=EC，∠GAE=∠CEF，从而得出结论；
②设正方形的边长为2a，由条件可以得出AG=EC=a，如图1，作FN⊥BC于N，由条件证明△ABE≌△ENF，可以得出BE=FN=a，就有CN=a，CF=a，得出，，，就可以得出△ABD∽△FCD，就可以得出∠ADB=∠FDC=45°，得出∠BDF=90°，得出结论；
（2）延长BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延长线于G，证明△AME≌△ECF，得出AE=EF，证明△ABE≌△CGF，可以得出GF=BE，从而可以得出CF与BE的关系．
点评：本题考查了正方形的性质：正方形四条边都相等，四个角为等于90°；正方形的对角线相等且互相垂直平分．也考查了全等三角形的判定与性质．在解答时证明三角形全等和相似是关键．