Question

已知，如图，AB为⊙O的直径，弦DC延长线上有一点P，∠PAC＝∠PDA.
小题1:求证：PA是⊙O的切线；
小题2:若AD＝6，∠ACD＝60°, 求⊙O的半径.
      

Answer 1

小题1:连结BD， 
　　　　　∵AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.              
∵∠1＝∠3， ∠2＝∠PAC，  
∴∠3＋∠PAC＝∠1＋∠2        
∴∠APB＝∠3＋∠PAC＝90°.　　　
又OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线.
小题1:∵∠B＝∠ACD＝60°.
　　　　　　在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝6.
　　　　　　设BD＝x,AB＝2x,
由AD²＋BD²＝AB²得　x²＋6²＝(2x)².
　　　　　　解得　x＝　　 　∴⊙O的半径为.

要证明PA是⊙O的切线只要证明∠PAB=90°即可；已知PA是⊙O的切线，PCD是割线，则可以利用切割线定理来求得PD的长．