Question

（2012•巴中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可证得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可证得CD与⊙O相切；
（2）首先过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6cm，∠AOF=

1

2

∠AOE，又由圆周角定理可得∠ADE=

1

2

∠AOE，继而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．

解答：解：（1）CD与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
即OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵AB为直径的圆O经过点D，
∴CD与⊙O相切；

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，
则AF=

1

2

AE=

1

2

×10=5（cm），
∵OA=OE，
∴∠AOF=

1

2

∠AOE，
∵∠ADE=

1

2

∠AOE，
∴∠ADE=∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF=

AF

AO

=

5

6

，
∴sin∠ADE=

5

6

．

点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、平行四边形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．