Question

22、（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点H，连接HM，则BM=HD，由已知可推出∠DHM=∠MBN，∠BMN=∠HDM，从而利用ASA判定△DHM≌△MBN，从而得到DM=MN；
（2）在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM，同理可证：△DHM≌△MBN，所以DM=MN；
（3）在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM，同理可证：△DHM≌△MBN，所以DM=MN．

解答：证明：（1）取AD的中点H，连接HM．
在△DHM和△MBN中，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD，
∵AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠MBN=135°，
∵AH=AM，
∴∠AHM=45°
∴∠DHM=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．
同理可证：△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．

点评：此题主要考查了学生对角平分线的性质，正方形的性质及全等三角形的判定等知识点的综合运用．