Question

4．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y₁=kx+b的图象和反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）利用图象直接写出，当x取何值时，y₁＞y₂？

Answer 1

分析 （1）把B （2，-4）代入反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$得出m的值，再把A（-4，n）代入一次函数的解析式y₁=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）由y₁=-x-2即可求得点C的坐标，把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算即可求得．
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得x的取值范围．

解答 解：（1）∵B（2，-4）在反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y₂=-$\frac{8}{x}$．
∵点A（-4，n）在y₂=-$\frac{8}{x}$上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y₁=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y₁=-x-2．
（2）∴C是直线AB与y轴的交点，
∴当x=0时，y=-2．
∴点C（0，-2）．
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6．
（3）由图象，得，
当x的取值范围是x＜-4或0＜x＜2时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．