Question

5．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）在BC上截取CF=CO，连接OF，若AC=16，BD=12，求四边形OFCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形OCED为平行四边形，再由菱形的性质得出∠DOC=90°，即可得出结论；
（2）作FH⊥OC于点H，先求出△DOC的面积，由勾股定理求出BC，根据三角函数求出FH，求出△OCF的面积，S_{四边形OFCD}=S_△DOC+S_△OCF，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：作FH⊥OC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=6，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=8，
∴S_△DOC=$\frac{1}{2}OD•OC$=24，
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{B^2}+O{C^2}}$=10，sin∠OCB=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△CFH中，CF=CO=8，sin∠HCF=$\frac{FH}{FC}$=$\frac{3}{5}$，
∴FH=$\frac{3}{5}$CF=$\frac{24}{5}$，
∴S_△OCF=$\frac{1}{2}OC•FH$=$\frac{96}{5}$，
∴S_{四边形OFCD}=S_△DOC+S_△OCF=$\frac{216}{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、三角函数以及面积的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．