Question

已知四边形ABCD是矩形，BC＞AB，直线MN分别与AB，BC交于E，F两点，P为对角线AC上一动点（P不与A，C重合）．
（1）当点E，F分别为AB，BC的中点时，（如图1）问点P在AC上运动时，点P，E，F能否构成直角三角形？若能，共有几个？请在图中画出所有满足条件的三角形．
（2）若AB=3，BC=4，P为AC的中点，当直线MN的移动时，始终保持MN∥AC，（如图2）求△PEF的面积S_△PEF与FC的长x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）共有四个：①∠PEF=90°；②∠PFE=90°；③∠EPF=90°（两种），此种情况，可以EF为直径作圆，圆与AC的交点就是P点．
（2）由于三角形PEF的面积无法直接求出，可用三角形ABC的面积减去三角形AEP、BEF、CFP三个小三角形的和来求．
三角形BEF的面积可用三角形ABC的面积和它们的相似比来求出．
由于P是AC中点，而MN∥AC，根据等底等高的三角形面积相等可得出三角形AEP和CPF的面积相等，因此只需求出三角形FCP的面积即可．三角形PCF中，CF的长已知了为x，CF边上的高可用PC的长和∠ACB的正弦值求出．
由此可得出三角形PEF的面积S与x的函数关系式．

解答：解：（1）能．以EF为直径作圆，圆与AC的交点就是P点，P点位置如图所示：
∴共有4个：①∠PEF=90°；②∠PFE=90°；③∠EPF=90°（两种）；

（2）在矩形ABCD中
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5．
∵S_△ABC=

1

2

•BC•AB，
∴S_△ABC=6．
∵FC=x，
∴BF=4-x．
在△ABC中
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

S△BEF

S△ABC

=

BF2

BC2

．
∴

S△BEF

6

=

(4-x)2

42

．
∴S_△BEF=6×

(4-x)2

16

=

3

8

（x-4）²．
∵PA=PC，EF∥AC，
∴S_△AEP=S_△CPF=

1

2

FC•CP•sin∠ACB．
∵sin∠ACB=

3

5

，
∴S_△AEP=

1

2

×

5

2

x×

3

5

=

3

4

x．
∴S_△PEF=S_△ABC-（S_△BEF+S_△AEP+S_△CFP）
=6-[

3

8

（x-4）²+

3

4

x+

3

4

x]
=-

3

8

x²+

3

2

x（0＜x＜4）．

点评：本题主要考查了矩形的性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识点．