Question

已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．
（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=________时，四边形BCDP是矩形；
（2）将点B绕点E逆时针旋转．
①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；
②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形BCDF是矩形，
∴DP=BC=6，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE=BC=3，
∴EP=6-3=3，
故答案为：3；

（2）①∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
∵根据旋转的性质可得，BE=EF，
∴BE=EF=AE，
在△BEF中，∠BEF=α°，可得∠EBF=∠BFE=（180°-α°）=90°-α°，
在△AEF中，可得∠EAF=∠AFE=∠FEB=α°，
∴∠BFE+∠AFE=90°-α°+α°=90°，
∴△ABF是直角三角形；

②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠EDC=90°，
∵∠C=90°，EK⊥BC，GM⊥DE，
∴∠M=∠EKB═90°，EK∥DC，
∴∠MEK=∠EDC=90°，
∴∠MEB+∠BEK=90°，
∵EG⊥AB，
∴∠GEB=90°，
∴∠GEM+∠MEB=90°，
∴∠GEM=∠BEK，
∵将点B绕点E逆时针旋转到G，
∴EG=BE，
在△GME和△BKE中
∵，
∴△GME≌△BKE（AAS），
∴GM=BK，
∵∠C=∠EKC=∠EDC=90°，
∴四边形DCKE是矩形，
∴DE=CK=3，
∴GM=BK=6-3=3，
∴△DEG的面积为DE×GM=×3×3=．
分析：（1）根据矩形性质得出DP=BC，根据三角形中位线求出DE=3，即可得出答案；
（2）①根据旋转得出AE=EF=BE，得出∠FAE=∠EFA=α°，∠EFB=∠EBF=90°-α°，求出∠AFB的度数，即可得出答案；
②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，求出BE=EG，∠GME=∠EKB=90°，∠GEM=∠BEK，根据AAS证△GME≌△BKE，推出GM=BK，求出BK，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的中位线定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．