Question

如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．

(1)求证：△ABC∽△ACD；

(2)   若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，

① 如图2，当点D与点P重合时，求R的值；

② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．

Answer 1

 (1) 由已知，CD⊥BC，∴ ∠ADC=90°∠CBD，

又∵ ⊙O切AY于点B，∴ OB⊥AB，∴∠OBC=90°∠CBD，

∴ ∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．

又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ．

(2) 由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，

∴ 在Rt△AOB中，AO===R，AB==R，

∴ AC=R+R=R ．

由(1)已证，△ABC∽△ACD，∴ ，

∴，因此 AD=R．

① 当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴R=4，∴R=．

② 当点D与点P不重合时，有以下两种可能：

i) 若点D在线段AP上(即0<R<)，PD=APAD=4R；

ii) 若点D在射线PY上(即R>)，PD=ADAP=R4．

综上，当点D在线段AP上(即0<R<)时，PD=4R；当点D在射线PY上(即R>)时，PD=R4．又当点D与点P重合(即R=)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|R4|(R>0)．