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    12．如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
    （1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
    （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
    （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

    分析 （1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
    （3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．

    解答 解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上
    ∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
    所以，点B（-2，3），
    又∵抛物线经过原点O，
    ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
    ∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=3}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
    ∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2-x．

    （2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
    ∴P（x，$\frac{1}{4}$x2-x），
    若S△ADP=S△ADC，
    ∵S△ADC=$\frac{1}{2}$AD•OC，S△ADP=$\frac{1}{2}$AD•|y|
    又∵点C是直线y=-2x-1与y轴交点，
    ∴C（0，-1），
    ∴OC=1，
    ∴|$\frac{1}{4}$x2-x|=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}$x2-x=1或$\frac{1}{4}$x2-x=-1，
    解得：x1=2+2$\sqrt{2}$，x2=2-2$\sqrt{2}$，x3=x4=2，
    ∴点P的坐标为 P1（2+2$\sqrt{2}$，1），P2（2-2$\sqrt{2}$，1），P3（2，-1）

    （3）结论：存在．如图2
    ∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2-x，
    ∴顶点E（2，-1），对称轴为x=2；
    点F是直线y=-2x-1与对称轴x=2的交点，∴F（2，-5），DF=5．
    又∵A（4，0），
    ∴AE=$\sqrt{5}$．
    如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
    ①菱形AEM1Q1．
    ∵此时EM1=AE=$\sqrt{5}$，
    ∴M1F=DF-DE-DM1=4-$\sqrt{5}$，
    ∴t1=4-$\sqrt{5}$；
    ②菱形AEOM2．
    ∵此时DM2=DE=1，
    ∴M2F=DF+DM2=6，
    ∴t2=6；
    ③菱形AEM3Q3．
    ∵此时EM3=AE=$\sqrt{5}$，
    ∴DM3=EM3-DE=$\sqrt{5}$-1，
    ∴M3F=DM3+DF=（$\sqrt{5}$-1）+5=4+$\sqrt{5}$，
    ∴t3=4+$\sqrt{5}$；
    ④菱形AM4EQ4．
    此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
    ∵易知△AED∽△M4EH，
    ∴$\frac{{M}_{4}E}{AE}$=$\frac{EH}{DE}$，
    即$\frac{{M}_{4}E}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$，得M4E=2.5，
    ∴DM4=M4E-DE=2.5-1=1.5，
    ∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，
    ∴t4=6.5．
    综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4-$\sqrt{5}$，t2=6，t3=4+$\sqrt{5}$，t4=6.5．

    点评 本题是二次函数综合题，考查的知识点包括二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、图形面积、菱形的判定与性质等，由于涉及考点众多，所以难度较大．第（2）问是存在型问题，要点在于利用面积的相等关系求出点P的纵坐标，然后运用方程思想求得其横坐标；第（3）问是运动型问题，注意符合条件的菱形有四个，避免漏解．

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