Question

如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：
命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
请解决下列问题：
（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；
（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．
（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．

Answer 1

解：（1）都是真命题；
若选（Ⅰ）证明如下：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AH=BG，
∴四边形ABGH是平行四边形，
∴AB=HG，
∴AB=HG=AH=BG，
∴四边形ABGH是菱形；
若选（Ⅱ），证明如下：
∵矩形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F、G、H是中点，
∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形；
若选（Ⅲ），证明如下
∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，EA=EC，
又∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△ADF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四边形AECF是菱形；

（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；


（3）S_ABGH=a² ，
S_EFGH=ab，
S_菱形AECF=，
∵-a²==＞0（b＞a）
∴S_菱形AECF＞S_ABGH．
∵-ab===＞0，
∴S_菱形AECF＞S_EFGH．
∵a² -ab=a（a-b）
∴当a＞b，即0＜b＜2a时，S_菱形ABGH＞S_菱形EFGH；
当a=b，即b=2a时，S_菱形ABGH=S_菱形EFGH；
当a＜b，即b＞a时，S_菱形ABGH＜S_菱形EFGH．
综上所述：
当O＜b＜2a时，S_菱形EFGH＜S_菱形ABGH＜S_菱形AECF．
当b=2a时，S_菱形EFGH=S_菱形ABGH＜S_菱形AECF．
当b＞2a时 S_菱形ABGH＜S_菱形EFGH＜S_菱形AECF．

分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．