Question

如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点．

（1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标；

（2）①若点P的坐标为（－2，），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；

     ②试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．

（3）设直线交轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）依题意，得解得，

∴A（，），B（1，1）．

（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）．

        ②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.

    设P（，），A（，），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，

∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（，），

将点B坐标代入抛物线，得，

∵△＝

∴无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的

点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A．

（3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）．

过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°，

由△AGO∽△OHB，得，∴．

联立得，依题意，得、是方程的两根，∴，∴，即D（0，1）．

∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P

设P（，），过点P作PQ⊥轴于Q，在Rt△PDQ中，，

∴．∴（舍去），，∴P（，）．

∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴，