Question

5．如图，已知抛物线经过A（-2，0）B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点是四边形是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；根据平行四边形的对角线互相平分，可得答案；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
所以函数解析式为：y=x²+2x；
（2）①以AE为边时，∵A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE=AO=2，D在x轴向方不可能，
∴D在x轴上方，且DE=2，当D点在对称轴直线x=-1的右侧时，D的坐标为（1，3）；
当D点在对称轴直线x=-1的左侧时，根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（-3，3），
②以AO为对角线时，则DE与AO互相平分，
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1，
由对称性可知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（-1，-1），
综上点D的坐标为（1，3）或（-3，3）（-1，-1）；
（3）假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，如图，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①若△PMA∽△COB，则$\frac{AM}{BO}$=$\frac{PM}{CO}$，
即x+2=3（x²+2x），得
x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=-2（舍去），当x=$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{7}{9}$，即P（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
②若△PMA∽△BOC，$\frac{AM}{OC}$=$\frac{PM}{BO}$，
即：x²+2x=3（x+2），
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）或（3，15）．

点评 本题着重考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．