Question

如图，△ABC为等边三角形，其边长为6，将它沿BC边上的高AD剪成两个全等的直角三角形，用这两个全等的直角三角形拼平行四边形．
（1）画出所有可以拼成的不同的平行四边形；
（2）求出上面拼成的平行四边形的对角线长．

Answer 1

分析：（1）例如两个直角三角形可以拼成一个矩形，而矩形的对角线相等且可以通过求解直角三角形得出，两条短直角边重合又是一种情况，
（2）不同的拼法，对角线的长度也不同，答案并不唯一．对角线的长度都可以通过作直角三角形求解得出．

解答：解：（1）共可拼成以下三种不同的情况．


（2）在等边△ABC中，
∵AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=3，
∴在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

27

…（4分）
①如图①，连接ED，则∠EBD=∠EBA+∠ABD=90°
∴∠EBD=∠ADB
又∵BE=AD，BD=BD
∴△EBD≌△ADB
∴ED=AB=3，
即：两条对角线的长都是3．…（5分）
②如图②，连接BE，过点E作EF垂直BD的延长线于点F，
则EF=AD=

27

，DF=AE=3．
在Rt△BEF中：BE=

BF2+EF2

=

63

即：两条对角线的长分别为3、

63

．…（7分）
③如图③，连接AG，过点G作GH垂直AD的延长线于点H，
则GH=BD=3，DH=BG=AD=

27

所以AH=AD+DH=2

27

在Rt△AHG中：AG=

AH2+GH2

=

117

即：两条对角线的长分别为3、

117

．…（9分）

点评：本题主要考查平行四边形的判定及全等三角形的判定，性质和等边三角形的性质问题，能够画出正确的图形，并作简单的计算．