Question

如图，用同样规模黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图中，每横行共有

n+3

块瓷砖，每一竖列共有

n+2

块瓷砖（用含n的代数式表示）；
（2）按上述规律铺设一块这样的矩形地面共有110块瓷砖，求此时n的值；
（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形？请通过计算说明理由．

Answer 1

分析：（1）观察图形发现：第n个图形的瓷砖的每行是（n+3）个，每列是n+2个；
（2）根据（1）总瓷砖数列出方程，求出x的值；
（3）根据黑、白瓷砖数相等列方程求解．

解答：解：（1）瓷砖：第一个横行是4个，竖列是3个，第二个横行是5个，竖列是4个，第三个横行是6个，竖列是5个，
整个图形的第n个图形中，横行是（n+3）个，竖列是（n+2）个；

（2）根据（1）得：
（n+3）（n+2）=110，
解得：n₁=8，n₂=-13（不合题意，舍去）．
所以n的值为8；

（3）当黑白砖块数相等时，有方程n（n+1）=（n²+5n+6）-n（n+1）．
整理得n²-3n-6=0．
解之得n₁=

3+ 33

2

，n2=

3- 33

2

．
由于n₁的值不是整数，n₂的值是负数，
故不存在黑砖白块数相等的情形．

点评：此题考查了图形的变化类；解题时要结合图形发现规律，根据规律能够列方程求解．