Question

18．如图1，抛物线y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线交y轴于点D，且tan∠DAO=$\frac{3}{4}$．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若点P是抛物线上第四象限得到一个动点，过点P作直线PF⊥x轴于点P，直线PF交AD于E；过点P作PG⊥AD于G，PG交x轴于点H，当△PGE的周长取得最大值时，求点P的坐标及四边形GEFH的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，当△PGE的周长取得最大值时P停止运动，连接PA交直线CB于Q，将直线AD绕点Q旋转，旋转后的直线l与直线AD相交于点M，与直线CB相交于点N，当四边形QDMN为平行四边形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点坐标，根据tan∠DAO=$\frac{3}{4}$=$\frac{DO}{AO}$，求出OD，设直线AD解析式为y=kx+b，列出方程组即可解决问题．
（2）如图1中，在点P移动过程中，∠PEG的大小不变，所以PE最长时，△PEG的周长最大，求出此时点P坐标，再根据S_{四边形GEFH}=S_△PGE-S_△PFH，即可解决问题．
（3）如图2中，作QH⊥AD于H，旋转后H的对应点为H′．设M点坐标（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{3}{2}$）．由△QHD≌△QH′N，推出DQ=QN，推出四边形QDMN是菱形，利用方程组求出点Q坐标，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，解得x=-2或4，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，
∵tan∠DAO=$\frac{3}{4}$=$\frac{DO}{AO}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
∴点D坐标（0，$\frac{3}{2}$），
设直线AD解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）如图1中，

∵在点P移动过程中，∠PEG的大小不变，
∴PE最长时，△PEG的周长最大，
设P（m，$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m-3），则E（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{3}{2}$），
∴PE=$\frac{3}{4}$m+$\frac{3}{2}$-（$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m-3）=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{2}$m+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{8}$（m-2）²+6，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴m=2时，PE最长，△PEG的周长最长，
此时P（2，-3），E（2，3），F（2，0），
∵OD∥PE，
∴∠ADO=∠PEG，∵∠AOD=∠PGE，
∴△AOD∽△PGE，
∴$\frac{AO}{PG}$=$\frac{DO}{EG}$=$\frac{AD}{PE}$，
∵OA=2，OD=$\frac{3}{2}$，AD=$\frac{5}{2}$，PE=6，
∴PG=$\frac{24}{5}$，EG=$\frac{18}{5}$，
∵∠HPF=∠EPG，∠PFH=∠PGE，
∴△PFH∽△PGE，
∴$\frac{PH}{PE}$=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{FH}{GE}$，
∴PF=3，FH=$\frac{9}{4}$，
∴S_{四边形GEFH}=S_△PGE-S_△PFH=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$\frac{18}{5}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{1053}{200}$．

（3）如图2中，作QH⊥AD于H，旋转后H的对应点为H′．设M点坐标（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{3}{2}$）．

∵四边形QDMN是平行四边形，
∴DQ∥MN，DM∥QN，
∴∠QDH=∠DMN=∠QNH′，∵∠QHD=∠QH′N=90°，QH=QH′，
∴△QHD≌△QH′N，
∴DQ=QN，
∴四边形QDMN是菱形，
∴DQ=DM，
∵直线AP解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，直线CN的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴点Q坐标（1，-$\frac{9}{4}$），
∵DQ=DM，
∴1²+（$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$）²=m²+（$\frac{3}{4}$m）²，
解得m=±$\frac{\sqrt{241}}{5}$，
∴点M的坐标为（$\frac{\sqrt{241}}{5}$，$\frac{3\sqrt{241}}{20}$+$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{241}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{241}}{5}$+$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、最值问题、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题、学会利用方程组求两个函数的交点坐标，题目比较难，属于中考压轴题．