Question

已知关于的方程.
【小题1】求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；
【小题2】若为整数，且抛物线与轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式
【小题3】若直线与（2）中的抛物线没有交点，求的取值范围.

Answer 1

【小题1】分两种情况讨论.
①      当时，方程为　
∴　方程有实数根  -----------------------------1分
②当，则一元二次方程的根的判别式

＝
∴不论为何实数，成立，
∴方程恒有实数根  -----------------------------------------3分
综合①、②，可知取任何实数，方程恒有实数根
【小题2】设为抛物线与轴交点的横坐标.
令，则
由求根公式得， ， -------------------------------------5分
∴抛物线不论为任何不为0的实数时恒过定点-----------------------6分
∵
∴
∴或，----------------------------------------------------------8分
∴  或（舍去）
∴求抛物线解析式为， ----------------------------------------9分

【小题3】由 ，得　
∴  --------------------------------------10分
∵直线与抛物线没有交点
∴
∴　-------------------------------------11分
所以，当，直线与（2）中的抛物线没有交点. --------------12分

解析