Question

如图已知?ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F
（1）CD与FA相等吗？为什么？
（2）若使∠F=∠BCF，?ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由．

Answer 1

解：（1）CD=FA．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵∠D=∠EAF，
∵E为AD的中点，
即DE=AE，
∴在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA．

（2）解：要使∠F=∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC=2AB，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∵CD=AF，
∴AB=AF，
∴BF=AB+AF=2AB，
∵BC=2AB，
∴BC=BF，
∴∠F=∠BCF．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形与E为AD的中点，易证得△CDE≌△FAE，根据全等三角形的对应边相等，即可得CD=FA；
（2）由（1）易证得BF=2AB，可得当BC=2AB时，即BC=BF时，∠F=∠BCF．
点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．